已知函数 $ f(x)=ax+\frac{b}{x}-2 $ 在 $ [1,3] $ 上满足 $ f(x)\geqslant0 $ 恒成立，求 $ 4a+b $ 的最小值。

分析：类似题目，会找特殊验证 $ f(2) \geqslant 0 \Rightarrow 2a + \frac{b}{2} -2 \geqslant 0 \Rightarrow 4a + b \geqslant 4 $ 只能算会做而已，要了解它的本质，就会对「不等式」有更深的认识。

形如本题，给定一个多项式的约束条件，去求另一种个多项式的约束条件的问题，「约束条件」能转化成具象的函数或曲线的，自然优先采纳具象分析的办法。但如果不可以，那么就要对这种问题有更深刻的理解：它给了一个约束条件时，到底意味着什么？

观察 $ ax + \frac{b}{x} $ ，发现它是典型的「平地双支逆转函数」，该函数在「a 、b」同号时，是「对勾函数」，而在「a、b」异号时，则是跟随反比例函数 $ \frac{b}{x} $ 增减性的「单调函数」。

在双参异号时，「平地双支逆转函数」因其「单调性」，在端点取「极值」。分类有如下两种情形（对应翠绿与深绿两个区域）。而双参同号时，则因其成为「对勾函数」之故，在 $ \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取极值。

$ \sqrt{\frac{b}{a}} $ 的讨论是困难的，为了方便研究，我们将「a」视作自变量「 $ x $ 」，将「b」视作因变量「 $ y $ 」，将「 $ x $ 」和「 $ \frac{1}{x} $ 」视为两个常参「 $ m $ 」和「 $ n $ 」。从而转化为 $ ma+nb \Rightarrow mx+ny $

欲求 $ 「4a + b 」 $ 的最小值，使我们知道 $ 「a」 $ 的常参系数是「4」， $ 「b」 $ 的常参系数是「1」。它们的值，分别赋予 $ m 、n $ 就会建立与原约束条件的关系（ $ x=2 $ ）。我们知道：必然有这样的约束一条线，它在维持着【4】a + 【1】b的基本关系下，同时参与着原条件域的约束。

这样一来，我们就得到了下图中 $ 2x+\frac{y}{2}-2 \geqslant 0 $ 的线，因为它是唯一满足：既维持着原条件的约束，又满足了 $ 【4】a + 【1】b $ 这一关系的，仅有的一条线。

同样地，我们以 $ 【4】x + 【1】y - t $ 的待证线去校验，发现至少要与 $ 2x+\frac{y}{2}-2 = 0 $ 重合时， $ t = 4 $

这种既参与原件条，又要满足特定关系的「线」，不一定是「直线」，当它是「曲线」时，同样的「赋值过程」就是「不等式」求最值类问题解法中常用的「待定系数法」。

可行域示例