齐次的必要性

• 齐次

很多人不明白为什么有些「不等式」题目，存在着「轮换对称」的特征时，双元或多元变量取等时，会有「最大」或「最小」值。 而在某些时刻，这个规律似乎又失效了。其实这是一叶障目，不见泰山。

「齐次」在这里的「约束」，是必不可少的。非齐次的话，它们的偏导函数会因有不同的形式，以致不俱备相同的「单调性」或者甚至不俱备「单调性」，使得整个代数式无法俱备最充分的取最值特征。

当然，不排除使用换元替代的方法，等价得到最充分的取最值特征。不过，这就是另外一个话题了。因为有一些情况之下，某些代数式可能是具有复杂曲率变化的蝶形面，甚至是不规则曲面。

但是回归问题本质，如果不能得到齐次特征，就不可以简单使用「取等」得最值的「简单规律」。

偏导的几何意义

依次以多元函数中的一个元为「主元」，进行「求导」，就会得到一组「导函数」。它们的主元不同，每个主元的「导函数」都是在该主元视角下的，对代数式取值的「取值影响」，它被称为「偏导数」。在数学中，这个「主元变换求导」还有另外广义的、扩展形式的「描述」——即不同「方向」下的「梯度变化」。

特别地，如果代数式是「齐次」、「轮换对称」的，那么它们的「偏导数」的「表达形式」将是「相同」的。

这样就会有「每个主元」对整体取值的影响，存在「共同变化趋势」的「简单规律」——这，就是齐次轮换对称最值条件的「简单规律」。

示例：

现有代数式 $xy$ ，试问，何时 $xy$ 取得最值？

令 $z=xy$，简单求偏导：

$$\begin{cases} z^{'}_x=y\\ z^{'}_y=x\\ \end{cases}\Rightarrow z_{max} \quad or \quad z_{min} \in \{（x,y）|z=x \cap z=y \}$$

因为 $z=x$ 与 $z=y$ 具有相似的解析形式，它们的单调性也是相似的。事实上，在三维空间坐标系内，可以通过刚体运动，使得两个解析式所代表的平面「重合」——这是重要的，这是「齐次轮换对称」给予我们的美妙结果。

三维示图：

• 在黄绿两个偏导面的交线的方向上，蓝色的 $xy$ 双曲抛物面取得极值。在 $x$ 轴、$y$ 轴的负方向上，因为同号，蓝色的双曲抛物面取得「双元绝对值相等」条件下的极值。

齐次轮换对称

著名的「均值不等式」，之所以成立的根本原因：

$x^2+y^2$ 所代表的「抛物面」，与 $2xy$ 代表的 「双曲抛物面」，相切与 $y=x$ 方向上。双曲抛物面「包裹」住了抛物面，从而使得「抛物面」在等元之时，永远高于「双曲抛物面」。

均值不等式

$$\begin{cases} z^{'}_x=2y\\ z^{'}_y=2x\\ \end{cases}\Rightarrow z_{max} \quad or \quad z_{min} \in \{（x,y）|z=x \cap z=y \}$$

鉴于偏导函数俱有相同的形式，以致它们必然俱有相同的单调性，从而对整体取值有相同的「影响」。 在偏导函数指示的，相同取值之时，必然有对整体取值「最大化」或「最小化」的简单规律。

偏导面交线

偏导面交线

我们终于从几何意义上触摸到这一类数学对象的本质，这太令人沉迷了。