顺时针旋转

平面直角坐标系内，任意点 $M (x_{m},y_{m})$ ,通过「顺时针旋转」$θ$ 角，得到点 $N (x_{n},y_{n})$. 由简单的差角公式，稍微展开即得如下坐标变换关系：

$$\begin{cases} x_{n}=&y_{m}\cdot sinθ + x_{m}\cdot cosθ\\ y_{n}=&y_{m}\cdot cosθ - x_{m}\cdot sinθ\\ \end{cases}$$

单位圆取点

我们在 $y$ 轴上取 $M(0,1)$,通过「顺时针旋转」$θ$ 角，将得到点 $N (x_{n},y_{n})$：

$$\begin{cases} x_{n}=sinθ\\ y_{n}=cosθ\\ \end{cases}\Rightarrow k_{ON}=\dfrac{△y}{△x}=\dfrac{cosθ}{sinθ}$$

寻找旋转角

平面直角坐标系内的几何图形在做刚体运动时，不改变图形的轮廓与外观。

双曲线通过变「旋转」得到的新曲线若能满足「函数」这一映射关系，那么它的「旋转角」不是随意的。

它必须满足：在旋转后，原双曲线的一条「渐近线」与 $y$ 轴重合，只有如此，才能保障对称中心一侧的图形不至于存在有一个 $x$ 对应着一个以上 $y$ 值的情况出现。

现在，我们已有「定见」：只要找出「旋转角」，我们就有能力「还原」该「双曲线」。

根据「双曲线」的对称性，我们知道对称中心一侧的图形，它是可以被「平分」为「两半儿」的。

给定任意「平地双支逆转函数」：$y = a \cdot x + \dfrac{b}{x}$ ，它总有 $y=a \cdot x$ 这样一条「渐近线」。

那么，显而易见：

当「平地双支逆转函数」是如下的对勾函数时(a,b同号)：包裹住了「函数一个分支」的域，是如下着色部分，在 $y$ 轴与 $y=a \cdot x$ 之间的角。劈开一半为

$$θ=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{arctan{a}}{2}$$

当「平地双支逆转函数」是普通如下的奇函数时(a,b异号)：包裹住了「函数一个分支」的域，是如下着色部分，在 $y$ 轴与 $y=a \cdot x$ 之间的角。劈开一半为：

$$θ=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{arctan{a}}{2}$$

可见：只要是「平地双支逆转函数」，都满足同一个解析形式的 $θ$ :「顺时针最小还原角」。

至于我们顺手可以得出额外的「新结论」：不论焦点在何处，双曲线只要旋转成函数，必然是「平地双支逆转函数」。

破解离心率

当双曲线的焦点在 $x$ 轴上时，它的渐近线斜率的绝对值为 $\dfrac{b}{a}$ ;当双曲线的焦点在 $y$ 轴上时，它的渐近线斜率的绝对值为 $\dfrac{a}{b}$ ;

我们分层设 $K_{x}$ 为 焦点在 $x$ 轴上的正向递增的渐近线斜率，$K_{y}$ 为焦点在 $y$ 轴上的正向递增的渐近线斜率。

我们唯一的目的，就是将函数按「$θ$ 角」顺时针旋转，以复原「双曲线」，斜率的运算不涉及具体的数值，都是纯粹的角度计算。而且我们具体操作时，「旋转」的对象是「渐近线」或坐标轴上的点。

• 对勾函数情形下：

顺时针旋转 $y$ 轴 $ → y = a \cdot x$，我们不妨在 $y$ 轴上取点 $M(0,1)$，探寻这个点的变化，如此，文章开头的工具 $M$ 点，$N$ 点 就用上了。

对勾函数

当然，我们预期它落到「双曲线」的渐近线 $N$ 处，如下演示：

对勾函数

由极坐标视角下的渐近线斜率表达，易知：

$$\begin{cases} x_{n}=sinθ\\ y_{n}=cosθ\\ K_{y}= \dfrac{△y}{△x} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} K_{x}= \dfrac{cosθ}{sinθ}\\ K_{x}= \sqrt{e^2-1}\\ \end{cases} \Rightarrow e_{x}= \sqrt{\dfrac{2}{1-cos{2θ}}}$$

• 普通奇函数情形下：

普通奇函数

我们依然将函数顺时针旋转 $θ$ 角，同样地，我们预期它落到「双曲线」的渐近线 $N$ 处：

普通奇函数

同理，我们会得到：

$$\begin{cases} x_{n}=sinθ\\ y_{n}=cosθ\\ K_{y}= \dfrac{△y}{△x} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} K_{y}= \dfrac{cosθ}{sinθ}\\ K_{y}= \dfrac{1}{\sqrt{e^2-1}}\\ \end{cases} \Rightarrow e_{y}= \sqrt{\dfrac{2}{1+cos{2θ}}}$$

通过上述数理解析，我们发现：只要将某个确定的「平地双支逆转函数」还原，它的「离心率」就是确定的「表达式」。

任意「平地双支逆转函数」——必有「原型双曲线」与之对应。 $a、b$ 同号出双勾， $a、b$ 异号出普通奇函数，无论 $a、b$ 取何值，一旦它们确定了，它的「原型双曲线」的离心率便同时被确定。

$$y = a \cdot x + \dfrac{b}{x}$$

但是，如果「平地双支逆转函数」中的 $a、b$ 未定，就需要考虑「平地双支逆转函数」是存在「两种情况」的。

$$\begin{cases} e_{x}= \sqrt{\dfrac{2}{1-cos{2θ}}}\\ e_{y}= \sqrt{\dfrac{2}{1+cos{2θ}}}\\ θ=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{arctan{a}}{2}\\ \end{cases}$$

关于「平地双支逆转函数」的一些性质：

平地双支逆转函数A

平地双支逆转函数B

到此，我们彻底解决了「双曲线」的旋转问题，以及由任意的「平地双支逆转函数」还原回「双曲线」的问题。