从面积说起

• 外心

三角形的「外心」，即是「外接圆的圆心」。据圆的定义，它到三个「顶点」的距离相等。

令外接圆的半径为 $R$ ,由此，可知「外心」及「顶点」构成的下面三份三角形中，有如下比例关系：

$$S_{1}:S_{2}:S_{3} = \frac{1}{2}R^2sin\alpha:\frac{1}{2}R^2sin\beta:\frac{1}{2}R^2sin\gamma=sin\alpha:sin\beta:sin\gamma=sin2A:sin2B:sin2C$$

外心到三顶点等距

• 内心

三角形的「内心」，即是「内切圆的圆心」。据切线的定义，它到「三条边」的距离为其半径，因此「内心」到「三边」等距。

令内切圆的半径为 $r$,由此，可知「内心」及「顶点」构成的下面三份三解开中，有如下比例关系：

$$S_{1}:S_{2}:S_{3} = \frac{1}{2}r^{2}a:\frac{1}{2}r^{2}b:\frac{1}{2}r^{2}c=a:b:c$$

内心到三边等距

• 重心

三角形的「重心」，心是三条「中线」的交点，「重心」比较特殊，如下图，易证两个红色的三角形全等。从而论证出同底（$BP$）「绿色」和「蓝色」的三角形「等高」($CI=AH$),进而论证出由「重心」和三个「顶点」构成的三份三角形，面积相等： $S_{1}:S_{2}:S_{3} = 1:1:1$

重心三角形面积相等

• 垂心 三解形的「垂心」，是三条「高线」的交点。

$S_{1}$ 与 $S_{3}$ 同底，所以它们的高之比即为面积之比。

$\frac{S_1}{S_3}=\frac{EC}{AE}=\frac{EC·EB}{AE·EB}=\frac{\frac{EB}{AE}}{\frac{EB}{EC}}=\frac{tanA}{tanC}$

同理可推知：

$$S_1:S_2:S_3=tanA:tanB:tanC$$

垂心示例

一般化拓展

$P$ 为 $\triangle ABC$ 中一动点，由 P 及三顶点构成的三角形面积为 $S_1,S_2,S_3$.

$$S_{1}\overrightarrow{PA}+S_{2}\overrightarrow{PB}+S_{3}\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$

简证：

作两条射线$BP，CP$，并过 $A$ 作 两道平行线交两射线于 $D，E$.

易见夹在平线行间的 $S_0$ 和 $S_2$ 同底且等高，面积相等。同理，$S_4$ 和 $S_3$ 面积也相等。

在$▱ADPE$中，由平行四边形法则，知：

$$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}$$

用 $\overrightarrow{PB} $及$ \overrightarrow{PC}$ 表示 $\overrightarrow{PD}$ 与 $\overrightarrow{PE}：$

$$\begin{align*} \overrightarrow{PA}&=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}\\ &=-\frac{|\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{PB}|}*\overrightarrow{PB}-\frac{|\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{PC}|}*\overrightarrow{PC}\\ &=-\frac{S_0}{S_1}*\overrightarrow{PB}-\frac{S_4}{S_1}*\overrightarrow{PC}\\ &=-\frac{S_2}{S_1}*\overrightarrow{PB}-\frac{S_3}{S_1}*\overrightarrow{PC}\\ \end{align*}$$

整理：

$$S_{1}\overrightarrow{PA}+S_{2}\overrightarrow{PB}+S_{3}\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$

换成易记的「顶点」对「边」的形式：

$$S_{A}\overrightarrow{PA}+S_{B}\overrightarrow{PB}+S_{C}\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$

奔驰定理示例

代入前文结论，得三角形四心的向量表达：

外心：$S_{A}:S_{B}:S_{C}=sin2A:sin2B:sin2C$

$$sin2A*\overrightarrow{PA}+sin2B*\overrightarrow{PB}+sin2C*\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$

内心：$S_{A}:S_{B}:S_{C}=a:b:c$

$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$

重心：$S_{A}:S_{B}:S_{C}=1:1:1$

$$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$

垂心：$S_{A}:S_{B}:S_{C}=tanA:tanB:tanC$

$$tanA*\overrightarrow{PA}+tanB*\overrightarrow{PB}+tanC*\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$