$\forall C < Min\{M,N\}$. 如果 $\frac{M}{N} < 1,$ 恒有 $\frac{M}{N}>\frac{M-C}{N-C}$ 。 倘若：$\frac{M}{N} > 1,$ 则：$\frac{M}{N} < \frac{M-C}{N-C}$

简证：

$\frac{M}{N}-\frac{M-C}{N-C}=\frac{M(N-C)-N(M-C)}{N(N-C)}=\frac{C(N-M)}{N(N-C)}$

如果 $N>M,$ 则 $\frac{M}{N}>\frac{M-C}{N-C}$

如果 $N<M,$ 则 $\frac{M}{N}<\frac{M-C}{N-C}$

换言之：分子分母同时脱减相同的一个常数时，真分数越脱越小，假分数越脱越大。

示意图

示意图

（2020年度广州白云区3月阶段测练，第21题，理数）

求证：$e^{2(\sqrt{\pi}-\sqrt{e})} > (\frac{\pi+1}{e+1})^{\sqrt{e}}$

分析：

$\pi + 1 > e + 1 ,$ 由「脱水不等式」知 : 假分数越脱越大。

$(\frac{\pi+1}{e+1})^{\sqrt{e}}$ < $(\frac{\pi}{e})^{\sqrt{e}}$

若能证明： $(\frac{\pi}{e})^{\sqrt{e}}$ < $e^{2(\sqrt{\pi}-\sqrt{e})}$ ①

即可通过不等式的传递性，证明命题：

$(\frac{\pi+1}{e+1})^{\sqrt{e}}$ < $(\frac{\pi}{e})^{\sqrt{e}}$ < $e^{2(\sqrt{\pi}-\sqrt{e})}$

对 ① 两侧取对数：

$\sqrt{e}ln(\frac{\pi}{e})=2\sqrt{e}ln(\sqrt{\frac{\pi}{e}}) < 2(\sqrt{\pi}-\sqrt{e})=2\sqrt{e}(\sqrt{\frac{\pi}{e}}-1)$ ②

整理②：

$2\sqrt{e}ln(\sqrt{\frac{\pi}{e}}) < 2\sqrt{e}(\sqrt{\frac{\pi}{e}}-1)$

由基本放缩：$lnx<x-1$ ,知：

$ln(\sqrt{\frac{\pi}{e}})<\sqrt{\frac{\pi}{e}}-1$

易然，命题成立。

思路已通，证明就不在话下了。