（2014年 河南郑州高三质量预测）

已知$x,y \in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}),m\in R$且$m \neq 0$

若$\begin{cases} ln\frac{2-x}{2+x}=tanx+2m\\ ln\frac{1-y}{1+y}=\frac{2tany}{1-tan^2y}-2m\\ \end{cases}$ 则 $\frac{y}{x}$：___.

解析：

• 三角变换：

$$\begin{cases} ln\frac{2-x}{2+x}=tanx+2m\\ ln\frac{1-y}{1+y}=\tan2y-2m\\ \end{cases}$$

• 换元: 设$w=2y,$原式变化为

$$\begin{cases} ln\frac{2-x}{2+x}=tanx+2m\\ ln\frac{1-\frac{w}{2}}{1+\frac{w}{2}}=tanw-2m\\ \end{cases}$$

• 整理:

$$\begin{cases} ln\frac{2-x}{2+x}=tanx+2m\\ ln\frac{2-w}{2+w}=tanw-2m\\ \end{cases}$$

• 变形：

$$\begin{align*} -tanx+ln\frac{2-x}{2+x}&=tanw-ln\frac{2-w}{2+w}\\ tan(-x)-(-ln\frac{2+(-x)}{2-(-x)})&=tanw-ln\frac{2-w}{2+w}\\ tan(-x)-ln(\frac{2+(-x)}{2-(-x)})^{-1}&=tanw-ln\frac{2-w}{2+w}\\ tan(-x)-ln\frac{2-(-x)}{2+(-x)}&=tanw-ln\frac{2-w}{2+w}\end{align*}$$

• 易得：

$$\begin{align*} -x=w, \frac{y}{x}=\frac{y}{-w}=\frac{y}{-2y}=-\frac{1}{2} \end{align*}$$