对数平均不等式并非高中课纲内容，但是近五年诸多高考题目都有围绕它的题型，有必要熟知证明过程。

当 $ a>0,b>0,且a \neq b $ 时，有：$ \sqrt{ab}<\frac{a-b}{\ln{a}-\ln{b}}<\frac{a+b}{2}. $ 证明：设 $ a>b>0 $

（1） $ \frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b}{2} \Leftrightarrow \ln a-\ln b>\frac{2(a-b)}{a+b} \Leftrightarrow \ln \frac{a}{b}> \frac{2( \frac{a}{b}-1)}{ \frac{a}{b}+1} \Leftrightarrow \ln x > \frac{2(x-1)}{x+1} (x=\frac{a}{b}>1) $

构造函数 $ f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x+1}(x>1) $ 则 $ f’(x)=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2} $ .

$ \because x>1, \therefore f’(x)>0, \therefore f(x) $ 在 $ (1,+\infty) $ 上单调递增。

$ \therefore f(x)>f(1)=0, $ 即： $ \frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b}{2} $ 成立。

（2） $ \sqrt{ab}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b}\Leftrightarrow \ln a-\ln b<\frac{a-b}{\sqrt{ab}} \Leftrightarrow \ln \frac{a}{b}<\frac{\frac{a}{b}-1}{\sqrt{\frac{a}{b}}}\Leftrightarrow 2\ln x<x-\frac{1}{x}(x=\sqrt{\frac{a}{b}}>1) $

构造函数 $ g(x)=2\ln x-(x-\frac{1}{x})(x>1),$ 则 $g’(x)=-(\frac{1}{x}-1)^2 $ .

$ \because x>1,\therefore g’(x)<0.\therefore g(x) $ 在 $ (1,+\infty) $ 上单调递减。

$ \therefore g(x)<g(1)=0, $ 即： $ \sqrt{ab}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b} $ 成立。

综上所述，当 $ a>0,b>0, $ 且 $ a \neq b $ 时， $ \sqrt{ab}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b}{2}. $